Question

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，B=60°，a+c=1，则b的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，1）
• B． [$\frac{1}{4}$，1）
• C． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 由a+c=1，利用基本不等式的性质化为ac$≤\frac{1}{4}$．由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-ac=1-3ac，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a+c=1，
∴1$≥2\sqrt{ac}$，
化为ac$≤\frac{1}{4}$．
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-ac=1-3ac≥$\frac{1}{4}$，当且仅当a=c=$\frac{1}{2}$时取等号．
又b＜a+c=1．
∴b的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1）．
故选：A．

点评 本题考查了余弦定理、两角和差的正弦公式、诱导公式、三角函数的内角和定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．