Question

某电厂冷却塔外形是如图所示的双曲线的一部分绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A,A′是双曲线的顶点,C,C′是冷却塔上口直径的两个端点,B,B′是冷却塔下底直径的两个端点,已知AA′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.

(1)建立坐标系并写出该曲线的方程;

(2)求冷却塔的容积(精确到10 m³,塔壁厚度不计,π取3.14).

Answer 1

思路分析:设出双曲线的方程,利用待定系数法求方程;利用定积分求旋转体的体积.

解:(1)建立如图所示的直角坐标系xOy,使AA′在x轴上,AA′的中点为坐标原点O,CC′与BB′平行于x轴.

设双曲线方程为=1(a>0,b>0),则a=AA′=7.

设B(11,y₁),C(9,y₂),因为点B,C在双曲线上,所以有

=1,①

=1,②

由题意,知y₂-y₁=20.③

由①②③得y₁=-12,y₂=8,b=.故所求的双曲线方程为=1.

(2)由双曲线方程得x²=y²+49.设冷却塔的容积为V(m³),

则V=π=π(y³+49y)=4.25×10³(m³).

答:冷却塔的容积为4.24×10³(m³).