Question

已知各项均为正数的数列{a_n}前n项和为S_n，首项为2，且2，a_n，S_n成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得，2a_n=2+S_n，结合2a_n-1=2+S_n-1（n≥2）可得数列a_n与a_n-1的关系，结合特殊数列的通项公式可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得b_n，利用错位相减法可求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）由题意知2a_n=s_n+2，且a_n＞0，a₁=2，
当n≥2时，s_n=2a_n-2，s_n-1=2a_n-1-2，
两式相减得，a_n=2a_n-2a_n-1，整理得：

an

an-1

=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴an=a1•2n-1=2×2n-1=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n，∴b_n=n2ⁿ，
Tn=2+2•22+3•23+…+n•2n，①
2T_n=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得，-Tn=2+22+32+…+2n-n•2n+1，
∴-Tn=2n+1-2-n•2n+1，
∴Tn=(n-1)•2n+1+2．

点评：本题主要考查利用递推式求数列的通项公式，考查错位相减法对数列求和，错位相减法是高考考查重点，要熟练掌握．