Question

11．已知x＞0，y＞0，x+2y-2xy+8=0，求xy的最小值．

Answer 1

分析 首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y-2xy=8，求xy的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2$\sqrt{ab}$在代入已知条件，化简为不等式，解不等式求最值．

解答 解：考察基本不等式x+2y=x•（2y）-8
≥2$\sqrt{2xy}$（当且仅当x=2y时取等号），
整理得xy-$\sqrt{2}$$\sqrt{xy}$-4≥0，
即（$\sqrt{xy}$-2$\sqrt{2}$）（$\sqrt{xy}$+$\sqrt{2}$）≥0，
由$\sqrt{xy}$＞0，即有$\sqrt{xy}$≥2$\sqrt{2}$．
所以xy≥8（当且仅当x=2y=4时取等号）
则xy的最小值是8．

点评 此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．