【题目】第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：
收看时间（单位：小时） | [0,1) | [1,2) | [2,3) | [3,4) | [4,5) | [5,6) |
收看人数 | 14 | 30 | 16 | 28 | 20 | 12 |
（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全
列联表：
男 | 女 | 合计 | |
体育达人 | 40 | ||
非体育达人 | 30 | ||
合计 |
并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；
（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座．求抽取的这两人恰好是一男一女的概率．
附表及公式：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）由频率分布表，每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工有60人，即“体育达人”有60人，结合
列联表，可得其他数据，代入计算公式，得
的观测值，为判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关，所以将观测值与
比较，得出结论；
（2）由（1），“体育达人”中男女比例为
，所以在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名教职工，有4名男职工，2名女职工，分别表示为
，列举抽取2名的情况，得到基本事件总数和抽取的这两人恰好是一男一女包含的基本事件数，得到抽取的这两人恰好是一男一女的概率
（1）由题意得下表：
男 | 女 | 合计 | |
体育达人 | 40 | 20 | 60 |
非体育达人 | 30 | 30 | 60 |
合计 | 70 | 50 | 120 |
的观测值为
．
所以有
的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关．
（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，分别表示为,从这六人中抽取两人有
共15种情形，满足抽取的这两人恰好是一男一女有
共8种情形，
故从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座，抽取的这两人恰好是一男一女的概率为．
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【题目】已知函数
，若在定义域内存在
，使得
成立，则称为函数的局部对称点.
（1）若
且
，证明：函数
必有局部对称点；
（2）若函数
在定义域
内有局部对称点，求实数
的取值范围；
（3）若函数
在
上有局部对称点，求实数
的取值范围.
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【题目】某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取
名市民，按年龄（单位：岁）进行统计和频数分布表和频率分布直线图如下：
分组（岁） | 频数 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
合计 |
|
（1）求频率分布表中
、
的值，并补全频率分布直方图；
（2）在抽取的这
名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取
人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这
人中随机选取
人各赠送精美礼品一份，设这
名市民中年龄在
内的人数
，求
的分布列及数学期望.
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【题目】一个口袋中有
个白球和
个红球（
，且
），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．
(1)试用含
的代数式表示一次摸球中奖的概率
；
(2)若
，求三次摸球恰有一次中奖的概率；
(3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为
，当
为何值时，
取最大值.
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【题目】随着“互联网＋交通”模式的迅猛发展，“共享助力单车”在很多城市相继出现．某“共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了100名用户，得到用户的满意度评分（满分10分），现将评分分为5组，如下表：
组别 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
满意度评分 | [0，2） | [2，4） | [4，6） | [6，8） | [8，10] |
频数 | 5 | 10 | a | 32 | 16 |
频率 | 0.05 | b | 0.37 | c | 0.16 |
(1)求表格中的a，b，c的值；
(2)估计用户的满意度评分的平均数；
(3)若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为多少？
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【题目】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA＝AC，PB＝PD＝
AC，E是PD的中点，求证：
（1）PB∥平面ACE；
（2）平面PAC⊥平面ABCD．
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【题目】如图，在正方形
中，点
是
的中点，点
是
的中点，将
分别沿
折起，使
两点重合于
，连接
.
（1）求证：
；
（2）点
是
上一点，若
平面
，则
为何值？并说明理由.
（3）若
，求二面角
的余弦值.
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【题目】 如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
为等边三角形，平面
平面
，
，
，
，
（Ⅰ）设
分别为
的中点，求证：
平面
；
（Ⅱ）求证：
平面；
（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】已知曲线T上的任意一点到两定点
的距离之和为
，直线l交曲线T于A、B两点，
为坐标原点.
（1）求曲线
的方程；
（2）若
不过点
且不平行于坐标轴，记线段AB的中点为M，求证：直线
的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（3）若OA
OB，求△
面积的取值范围.
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