Question

过椭圆x²+2y²=2的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则|AB|=

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出椭圆的左焦点F₁（-1，0），根据点斜率式方程设AB：y=

3

（x+1），与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，最后根据弦长公式即可算出弦|AB|的长．

解答： 解：∵椭圆方程为x²+2y²=2，
∴焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），
∵直线AB过左焦点F₁的倾斜角为60°．
∴直线AB的方程为y=

3

（x+1），将AB方程与椭圆方程联立消去y，得7x²+12x+4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=-

12

7

，x₁x₂=

4

7

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2

7

因此，|AB|=

1+( 3 )2

•|x₁-x₂|=

8 2

7

．
故答案为：

8 2

7

．

点评：本题给出椭圆经过左焦点且倾角为60°的弦AB，求弦长．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．