Question

如图，设P是单位圆和x轴正半轴的交点，M、N是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠POM=

π

3

，∠PON=α，α∈[0，π]，f(α)=|

OM

+

ON

|，则f（a）的范围为

 

．

Answer 1

分析：根据M、N是单位圆上的两点，∠POM=

π

3

，∠PON=α，以及三角函数的定义写出点N，M的坐标，求出

OM

、

ON

，并代入 f(α)=|

OM

+

ON

|，利用三角恒等变形，化简为sin（α+

π

6

），要求f(α)=|

OM

+

ON

|的范围，只需求sin（α+

π

6

），在区间[0，π]上的最值即可．

解答：解：∵M、N是单位圆上的两点，∠POM=

π

3

，∠PON=α，
∴M（

1

2

，

3

2

），N（cosα，sinα），
∴

OM

=（

1

2

，

3

2

），

ON

=（cosα，sinα），
∴f(α)=|

OM

+

ON

|=

( 1 2 +cosα)2+( 3 2 +sinα)2

=

2+2sin(α+ π 6 )

∵α∈[0，π]，
∴α+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（α+

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
∴f（α）∈[1，2]
故答案为[1，2]．

点评：此题是个中档题．考查向量在几何中的应用，同时考查了三角函数的定义和向量的数量积的坐标运算，三角函数在区间上的最值问题，体现了转化的思想，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．