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22.已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0),点PQ在双曲线的右支上,点Mm,0)到直线AP的距离为1.

(Ⅰ)若直线AP的斜率为k,且|k|∈[,],求实数m的取值范围;

(Ⅱ)当m =+1时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.

22.本题主要考查直线、双曲线方程和性质等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.

解:(Ⅰ)由条件得直线AP的方程y=kx-1)(k≠0),即kxyk=0.

又因为点M到直线AP的距离为1,所以=1,

得|m-1|==.

∵|k|∈[,],∴≤|m-1|≤2,

解得+1≤m≤3或-1≤m≤1-

m的取值范围是m∈[-1,1-]∪[+1,3].

(Ⅱ)可设双曲线方程为x2=1(b≠0),

M+1,0),A(1,0),

得|AM|=.

又因为M是△APQ的内心,MAP的距离为1,所以∠MAP=45°,

直线AM是∠PAQ的角平分线,且MAQPQ的距离均为1.

因此,kAP=1,kAQ=-1,(不妨设P在第一象限)

直线PQ方程为x=2+,

直线AP的方程y=x-1,

∴解得P的坐标是(2+,1+).

P点坐标代入x2=1得

b2=.

所以所求双曲线方程为x2y2=1,

x2-(2-1)y2=1.


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