Question

14．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3{a}_{n}+2}$，a_nb_n=1，则使b_n＞63的最小的n为（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 先化简已知的等式，利用待定系数法和构造法得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+3}是等比数列，由条件和等比数列的通项公式求出$\frac{1}{{a}_{n}}$，代入a_nb_n=1求出b_n，化简使b_n＞63即可求出最小的n．

解答 解：因为$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{1}{3{a}_{n}+2}$，所以3a_n+1a_n+2a_n+1=a_n，
两边同除a_n+1a_n得，$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2}{{a}_{n}}+3$，
设$\frac{1}{{a}_{n+1}}+k=2（\frac{1}{{a}_{n}}+k）$，则$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2}{{a}_{n}}+k$，即k=3，
∴$\frac{\frac{1}{{a}_{n+1}}+3}{\frac{1}{{a}_{n}}+3}$=2，由a₁=1得$\frac{1}{{a}_{1}}$+3=4，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+3}是以2为公比、4为首项的等比数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}$+3=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2ⁿ⁺¹-3，
由a_nb_n=1得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$=2ⁿ⁺¹-3，
∴b_n＞63为2ⁿ⁺¹-3＞63，即2ⁿ⁺¹＞66，
∵2⁶=64，2⁷=128，∴使b_n＞63的最小的n为6，
故选：C．

点评 本题考查数列递推公式的化简，待定系数法和构造法求数列的通项公式，考查化简、变形能力．