Question

选修4-4：坐标系与参数方程．
已知曲线C的极坐标方程为ρ=

4cosθ

sin2θ

，直线l的参数方程为

x=tcosα y=1+tsinα

（t为参数，0≤α＜π）．
（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

Answer 1

分析：（1）对于曲线C，即ρsinθ=

4ρcosθ

sin θ

．把互化公式代入，化简可得得直角坐标方程．
（2）根据条件求出直线l的方程为x+y=1，由 

y2=4x x+y=1

，消去x并整理得 y²+4y-4=0，利用根与系数的关系求得y₁+y₂=-4，y₁•y₂=-4，再利用弦长公式求出|AB|的值．

解答：解：（1）对于曲线C：ρ=

4cosθ

sin2θ

，可化为 ρsinθ=

4ρcosθ

ρsinθ

．
把互化公式代入，得 y=

4x

y

，即 y²=4x，为抛物线．
（可验证原点（0，0）也在曲线上）    （5分）
（2）根据条件直线l经过两定点（1，0）和（0，1），所以其方程为x+y=1．
由 

y2=4x x+y=1

，消去x并整理得 y²+4y-4=0．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-4，y₁•y₂=-4．
所以|AB|=

1+ 1 k2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+1

•

(-4)2-4(-4)

=8．（10分）

点评：本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及有关距离等知识内容，属于基础题．