Question

（本题12分）如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E, F分别是棱BC,CC₁上的点，CF="AB=2CE," AB:AD:AA₁=1:2:4.

（Ⅰ）求异面直线EF与A₁D所成角的余弦值；
（Ⅱ）证明AF⊥平面A₁ED；
（Ⅲ）求二面角A₁－ED－F的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）证明：利用向量证明AF⊥EA₁,AF⊥ED.又EA₁∩ED=E，推出AF⊥平面A₁ED.
（Ⅲ）

试题分析：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点.设AB=1，依题意得D（0,2,0），F（1,2,1），A₁（0,0,4），E（1,,0）

（Ⅰ）易得
于是
所以异面直线EF与A₁D所成角的余弦值为
（Ⅱ）证明：易知
于是
因此，AF⊥EA₁,AF⊥ED.
又EA₁∩ED=E，所以AF⊥平面A₁ED.
（Ⅲ）设平面EFD的法向量u=(x,y,z)，则      即
不妨令x=1，可得u=（1,2,－1）.
由（Ⅱ）可知，为平面A₁ED的一个法向量.
于是
从而
所以二面角A₁－ED－F的正弦值为
点评：典型题，立体几何中的垂直、平行关系，是高考常常考查的内容。关于角的计算通常有两种思路，一是几何法，注意“一作、二证、三计算”；二一种思路，是利用空间向量，简化证明过程。