Question

（2010•邯郸二模）已知向量

a

=(

1

2

cosx，

3

sinx)，

b

=(4cosx，2cosx)，函数f(x)=

a

•

b

+k(k∈R)
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若x∈[0，π]时，f（x）的最大值为4，求k的值．

Answer 1

分析：直接利用向量的数量积求出函数的表达式，通过二倍角公式与两角和的正弦函数化简函数的表达式，
（Ⅰ）利用正弦函数的单调增区间，求出函数的单调增区间即可．
（Ⅱ）结合x的范围，求出2x+

π

6

的范围，然后利用函数的最大值，求出k的值即可．

解答：解：由

a

=(

1

2

cosx，

3

sinx)，

b

=(4cosx，2cosx)，
f(x)=

a

•

b

+k=2cos²x+2

3

sinxcosx=1+cos2x+

3

sin2x+k=2sin（2x+

π

6

）+1+k．
（Ⅰ）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
从而可得函数的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（Ⅱ）由x∈[0，π]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

13π

6

]，
故sin（2x+

π

6

）∈[-1，1]，
f（x）的最大值为4，所以1+1+k=4，
所以k=2．

点评：本题考查向量的数量积，二倍角公式两角和的正弦函数，三角函数的基本性质，考查计算能力．