Question

19．如图，正方体ABCD-A′B′C′D′中，$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BE}$．设点F在线段CC'上，直线EF与平面A'BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1]$
• B． $[\frac{{2\sqrt{2}}}{3}，1]$
• C． $[\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\frac{{2\sqrt{2}}}{3}]$
• D． $[\frac{{\sqrt{6}}}{3}，1]$

Answer 1

分析 设正方体ABCD-A′B′C′D′中棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出sinα的取值范围．

解答 解：设正方体ABCD-A′B′C′D′中棱长为2，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，
D（0，0，0），B（2，2，0），A′（2，0，2），
$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{D{A}^{'}}$=（2，0，2），
设平面BDA′的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}^{'}}=2x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}=（1，-1，-1）$，
E（1，1，0），设CF=t，（0≤t≤2），
当t=0时，F（0，2，0），$\overrightarrow{EF}$=（-1，1，0），
sinα=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2|}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
当t=1时，F（0，2，1），$\overrightarrow{EF}$=（-1，1，1），
sinα=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-3|}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=1；
当t=2时，F（0，2，2），$\overrightarrow{EF}$=（-1，1，2），
sinα=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-4|}{\sqrt{3}×\sqrt{4}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴sinα的取值范围是[$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1]．
故选：D．

点评 本题考查线面角的正弦值的求取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．