Question

(12分)已知是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足 , 

（1）求证：＝1    (2) 求不等式的解集.

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；(2) {x/3<x<6}。

【解析】

试题分析：（1）由题意得f(1)＝f(1×1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1) ∴f(1)＝0，进一步得到.

（2）不等式化为f(x)>f(x－3)+1

∵f(2)＝1 

∴f(x)>f(x－3)＋f(2)＝f(2x－6)

∵f(x)是（0，+∞）上的增函数

∴解得{x/3<x<6}

（1）【证明】 由题意得f(1)＝f(1×1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1) ∴f(1)＝0 3分

  ∴             。。。6分

(2)【解】 不等式化为f(x)>f(x－3)+1

∵f(2)＝1 

∴f(x)>f(x－3)＋f(2)＝f(2x－6)

∵f(x)是（0，+∞）上的增函数

∴解得{x/3<x<6}                   。。。。12分

考点：本题主要是考查抽象函数单调性的运用。

点评：解决该试题的关键是利用和得到f(2)=1，进而变形得到不等式的解集。