Question

【题目】已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若 ． （i） 求 的最值；
（ii） 求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意 ， ，又a2=b2+c2，

解得：a2=8，b2=4，

∴椭圆的标准方程为

（2）解：设直线AB的方程为y=kx+m，再设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立 ，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．

△=（4m）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0…①

，

∵ ，∴ ，

∴ ，

= ，

∴ ，得4k2+2=m2．

（i） = ．

∴﹣2=2﹣4 ．

当k=0（此时m2=2满足①式），即直线AB平行于x轴时， 的

最小值为﹣2．

又直线AB的斜率不存在时， ，

∴ 的最大值为2；

（ii）设原点到直线AB的距离为d，则

=

= ．

∴

【解析】（1）与已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆的标准方程可求；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，由 可得k与m的关系．（i）由数量积的坐标运算把 化为含有k的代数式求得最值；（ii）首先求出△AOB的面积，乘以4即可求得四边形ABCD的面积．