Question

（2013•天津）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为

15

2

．

Answer 1

分析：连结圆心O与A，说明OA⊥AE，利用切割线定理求出AE，通过余弦定理求出∠BAE的余弦值，然后求解BD即可．

解答：解：如图连结圆心O与A，因为过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．所以OA⊥AE，
因为AB=AD=5，BE=4，
梯形ABCD中，AB∥DC，BC=5，
由切割线定理可知：AE²=EB•EC，所以AE=

4×9

=6，
在△ABE中，BE²=AE²+AB²-2AB•AEcosα，即16=25+36-60cosα，
所以cosα=

3

4

，AB=AD=5，
所以BD=2×ABcosα=

15

2

．
故答案为：

15

2

．

点评：本题考查切割线定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力以及计算能力．