Question

4．已知抛物线E：y²=4x的焦点为F，准线为l，过准线l与x轴的交点P且斜率为k的直线m交抛物线于不同的两点A，B．
（1）若|AF|+|BF|=8，求线段AB的中点Q到准线的距离；
（2）E上是否存在一点M，满足$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PM}$？若存在，求出直线m的斜率；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到该抛物线准线的距离．
（2）设直线m的方程为y=k（x+1），$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.⇒$k²x²+（2k²-4）x+k²=0，利用韦达定理，结合M在抛物线上，即可得出结论．

解答 解：（1）由已知抛物线E的方程为y²=4x，
可得：F（1，0），准线l：x=-1，P（-1，0）．
设A（x₁，y₁）   B（x₂，y₂）
∴|AF|+|BF|=x₁+1+x₂+1=8，
解得x₁+x₂=6，
∴线段AB的中点横坐标为3，
∴线段AB的中点到该抛物线准线的距离为3+1=4．
（2）设M（x，y），$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=（x₁+1，y₁）+（x₂+1，y₂）
=（x₁+x₂+2，y₁+y₂）=（x+1，y），
$故\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}+2=x+1，\;\;\\{y_1}+{y_2}=y\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=x-1，\;\;\\{y_1}+{y_2}=y.\end{array}\right.$
设直线m的方程为y=k（x+1），$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.⇒$k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}k≠0，\;\;\\△={（2{k^2}-4）^2}-4{k^4}＞0，\;\;\\{x_1}+{x_2}=\frac{{4-2{k^2}}}{k^2}，\;\;\end{array}\right.$∴$\frac{{4-2{k^2}}}{k^2}=x-1$，∴$x=\frac{{4-{k^2}}}{k^2}$，${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2k=k\;•\;\frac{{4-2{k^2}}}{k^2}+2k=\frac{4}{k}$．
∴$y=\frac{4}{k}$．∵M点在抛物线上，
∴${（{\frac{4}{k}}）^2}=4\;•\;\frac{{4-{k^2}}}{k^2}$，$\frac{16}{k^2}=\frac{16}{k^2}-4$，此方程无解．
∴不存在这样的点M．

点评 本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．