Question

已知椭圆C₁：和双曲线C₂：有相同的焦点F₁、F₂，2c是它们的共同焦距，且它们的离心率互为倒数，P是它们在第一象限的交点，当cos∠F₁PF₂=60°时，下列结论中正确的是（ ）
A．c⁴+3a⁴=4a²c²
B．3c⁴+a⁴=4a²c²
C．c⁴+3a⁴=6a²c²
D．3c⁴+a⁴=6a²c²

Answer 1

【答案】分析：利用椭圆、双曲线的定义，结合余弦定理，可得4c²=A²+3a²，利用离心率互为倒数，可得A=，由此可得结论．
解答：解：由题意，|PF₁|+|PF₂|=2A，|PF₁|-|PF₂|=2a，则|PF₁|=A+a，|PF₂|=A-a
∵cos∠F₁PF₂=60°，∴4c²=（A+a）²+（A-a）²-（A+a）（A-a）=A²+3a²，
∵离心率互为倒数
∴=1
∴A=
∴4c²=+3a²，
∴c⁴+3a⁴=4a²c²，
故选A．
点评：本题考查椭圆、双曲线的定义与几何性质，考查余弦定理，属于中档题．