Question

10．设函数f（x）=x²-2tx+2，其中t∈R．
（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；
（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）判断f（x）在[0，4]上的单调性，根据单调性求出f（x）的最值，得出值域；
（2）令g（x）=f（x）-5，根据对称轴与区间[a，a+2]的关系求出g（x）的最大值，令g_max（x）≤0解出a的取值范围．

解答 解：（1）当t=1时，f（x）=x²-2x+2，∴f（x）的对称轴为x=1，
∴f（x）在[0，1]上单调递减，在（1，4]上单调递增，
∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1，当x=4时，f（x）取得最大值f（4）=10．
∴f（x）在区间[0，4]上的取值范围是[1，10]．
（2）∵f（x）≤5，∴x²-2x+2≤5，即x²-2x-3≤0，令g（x）=x²-2x-3，g（x）的对称轴为x=1．
①若a+1≥1，即a≥0时，g（x）在[a，a+2]上的最大值为g（a+2）=a²+2a-3，
∵对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，∴g（x）=x²-2x-3≤0恒成立，
∴a²+2a-3≤0，解得0≤a≤1．
②若a+1＜1，即a＜0时，g（x）在[a，a+2]上的最大值为g（a）=a²-2a-3，
∵对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，∴g（x）=x²-2x-3≤0恒成立，
∴a²-2a-3≤0，解得-1≤a＜0，
综上，实数a的取值范围是[-1，1]．

点评 本题考查了二次函数的单调性与最值，函数恒成立问题，常根据对称轴与区间的关系来判断单调性，属于中档题．