Question

在平面直角坐标系中，已知点A ( 

1

2

 ， 0 )，点B在直线l：x=-

1

2

上运动，过点B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于点M．
（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设点P是轨迹E上的动点，点R，N在y轴上，圆C：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数）内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），由题设知|MB|=|MA|，然后根据抛物线的定义可求出动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，求出直线PR的方程，消去参数θ，得圆的一般方程，然后根据圆心（1，0）到直线PR的距离为1，建立等式关系，化简变形可知，b，c为方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的两根，根据求根公式求出b-c，而△PRN的面积为S=

1

2

( b-c )x0，最后利用基本不等式求出最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），由题设知，|MB|=|MA|．
所以动点M的轨迹E是以A ( 

1

2

 ， 0 )为焦点，l：x=-

1

2

为准线的抛物线，其方程为y²=2x．（4分）
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
故直线PR的方程为（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．
由

x=1+cosθ y=sinθ

消去参数θ，得（x-1）²+y²=1．（6分）
由题设知，圆心（1，0）到直线PR的距离为1，即 

| y0-b+x0b |

( y0-b )2+x02

=1．
注意到x₀＞2，化简上式，得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0．
由上可知，b，c为方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的两根，根据求根公式，
可得b-c=

4 x 2 0 +4 y 2 0 -8x0

x0-2

=

2x0

x0-2

．（10分）
故△PRN的面积为S=

1

2

( b-c )x0=

x 2 0

x0-2

=( x0-2 )+

4

x0-2

+4≥2

( x0-2 )• 4 x0-2

+4=8，
等号当且仅当x₀=4时成立．此时点P的坐标为( 4 ， 2

2

 )或( 4 ， -2

2

 )．
综上所述，当点P的坐标为( 4 ， 2

2

 )或( 4 ， -2

2

 )时，△PRN的面积取最小值8．（13分）

点评：本题主要考查直线，圆，抛物线，函数以及参数方程等基础知识，同时考查运算能力以及分析问题和解决问题的能力．