Question

【题目】已知数列{an}满足an+2= ，n∈N*，且a1=1，a2=2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=（﹣1）nanan+1 ， n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：an+2= ，n∈N*，且a1=1，a2=2．

当n为奇数时，an+2=an+2，可得奇数项成首项为1，公差为2的等差数列，且为an=n；

当n为偶数时，an+2=2an，可得偶数项成首项为2，公比为2的等差数列，且为an=2 ；

即有an=

（2）解：令bn=（﹣1）nanan+1，n∈N*，

当n为偶数时，前n项和Sn=﹣a1a2+a2a3﹣a3a4+a4a5﹣a5a6+a6a7﹣…﹣an﹣1an+anan+1

=﹣1×2+2×3﹣3×4+4×5﹣5×8+8×7﹣…﹣（n﹣1）2 +（n+1）2

=2×2+4×2+8×2+…+2 ×2=2（2+4+8+…+2 ）=2 =4（2 ﹣1）；

当n为奇数时，前n项和Sn=Sn﹣1﹣n2 =4（2 ﹣1）﹣n2 =（2﹣n）2 ﹣4．

则数列{bn}的前n项和Sn=

【解析】（1）讨论当n为奇数时，由等差数列的通项公式可得；当n为偶数时，由等比数列的通项公式可得；（2）讨论n为偶数时，两两结合，再由等比数列的求和公式，可得所求和；当n为奇数时，前n项和Sn=Sn﹣1﹣n2 ，化简即可得到所求和．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．