Question

（2008•成都二模）已知函数f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx+

1

2

（ω＞0，x∈R）的最小正周期为

π

2

．
（1）求f（

2π

3

）的值，并写出函数f（x）的图象的对称中心的坐标；
（2）当x∈[

π

3

，

π

2

]时，求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据f（x）的最小正周期公式即可求出ω的值；进一步求出函数值及对称中心．
（Ⅱ）先求出整体角的范围，由正弦函数的单调递减区间[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]得到定义域内f（x）的单调递减区间；

解答：解：f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx+

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

 cos2ωx
=sin（2ωx-

π

6

），
（1）∵函数的最小正周期为

π

2

，ω＞0
∴ω=2，
即f（x）=sin（4x-

π

6

），
∴f（

2π

3

）=sin（

8π

3

-

π

6

）=sin

π

2

=1，
令4x-

π

6

=kπ，
解得x=

kπ

4

+

π

24

，
所以函数的对称中心坐标为（

kπ

4

+

π

24

，0）（k∈Z）
（2）当x∈[

π

3

，

π

2

]时，4x-

π

6

∈[

7π

6

，

11π

6

]
∵当4x-

π

6

∈[

7π

6

，

3π

2

]时，函数f（x）为减函数
∴当x∈[

π

3

，

π

2

]时，函数f（x）的单调递减区间为[

π

3

，

5π

12

]．

点评：本题考查解决三角函数的性质问题，应该先利用三角函数的有关的公式将函数化为一个角的正弦函数，进而求出ω，确定出f（x）的解析式是本题的突破点，然后利用整体角处理的方法求出函数的有关性质．