【题目】设函数.
(1)当时,求函数的最大值;
(2)令,()其图象上任意一点处切线的斜率恒成立,求实数的取值范围;
(3)当,,方程有唯一实数解,求正数的值.
【答案】
(3)因为方程有唯一实数解,
所以有唯一实数解,
设,
则.令,.
因为,,所以(舍去),
,
当时,,在(0,)上单调递减,
当时,,在(,+∞)单调递增
当时,=0,取最小值.(12′)
【解析】
(1)利用导数求函数的单调区间即得函数的最大值.(2)由题得,.再求右边二次函数的最大值即得.(3)转化为有唯一实数解,设,再研究函数在定义域内有唯一的零点得解.
(1)依题意,知的定义域为,
当时,,
,
令,解得.(∵)
因为 有唯一解,所以,当时,,此时单调递增;
当时,,此时单调递减,
所以的极大值为,此即为最大值.
(2),,则有,在上恒成立,
所以,.
当时,取得最大值,所以.
(3)因为方程有唯一实数解,
所以有唯一实数解,
设,
则,令,,
因为,,所以(舍去),,
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增;
当时,,取最小值.
则,即,
所以,因为,所以(*)
设函数,因为当时,
是增函数,所以至多有一解,
因为,所以方程(*)的解为,即,解得.
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【题目】某高中尝试进行课堂改革.现高一有两个成绩相当的班级,其中班级参与改革,班级没有参与改革.经过一段时间,对学生学习效果进行检测,规定成绩提高超过分的为进步明显,得到如下列联表.
进步明显 | 进步不明显 | 合计 | |
班级 | |||
班级 | |||
合计 |
(1)是否有的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关?
(2)按照分层抽样的方式从班中进步明显的学生中抽取人做进一步调查,然后从人中抽人进行座谈,求这人来自不同班级的概率.
附:,当时,有的把握说事件与有关.
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【题目】已知函数是定义在上的偶函数,当时, .
(1)直接写出函数的增区间(不需要证明);
(2)求出函数, 的解析式;
(3)若函数, ,求函数的最小值.
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【题目】某地拟规划种植一批芍药,为了美观,将种植区域(区域I)设计成半径为1km的扇形,中心角().为方便观赏,增加收入,在种植区域外围规划观赏区(区域II)和休闲区(区域III),并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形,其中点,分别在边和上.已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元.
(1)要使观赏区的年收入不低于5万元,求的最大值;
(2)试问:当为多少时,年总收入最大?
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【题目】已知函数,且.
(1)若函数在上恒有意义,求的取值范围;
(2)是否存在实数,使函数在区间上为增函数,且最大值为?若存在求出的值,若不存在请说明理由.
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【题目】是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国标准采用世界卫生组织设定的最宽限值,即日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某城市环保局从该市市区2017年上半年每天的监测数据中随机抽取18天的数据作为样本,将监测值绘制成茎叶图如下图所示(十位为茎,个位为叶).
(1)求这18个数据中不超标数据的平均数与方差;
(2)在空气质量为一级的数据中,随机抽取2个数据,求其中恰有一个为日均值小于30微克/立方米的数据的概率;
(3)以这天的日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按天计算)中约有多少天的空气质量超标.
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