Question

【题目】Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3
（I）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn= ，求数列{bn}的前n项和．

Answer 1

【答案】解：（I）∵an2+2an=4Sn+3，
∴an+12+2an+1=4Sn+1+3，
两式相减得：an+12﹣an2+2an+1﹣2an=4an+1 ，
整理得：an+12﹣an2=2（an+1+an），
又∵an＞0，
∴an+1﹣an=2，
又∵a12+2a1=4a1+3，
∴a1=3或a1=﹣1（舍），
∴数列{an}是以3为首项、2为公差的等差数列，
∴an=3+2（n﹣1）=2n+1；
（Ⅱ）由（I）可知an=2n+1，
∴bn= = = （ ﹣ ），
∴数列{bn}的前n项和为： （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
= （ ﹣ ）
=
【解析】（I）通过an2+2an=4Sn+3与an+12+2an+1=4Sn+1+3作差可知an+1﹣an=2，进而可知数列{an}是以3为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）可知an=2n+1，裂项可知bn= （ ﹣ ），并项相加即得结论．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{aspan>n}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．