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    已知点列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、Bn（n，yn）（n∈N）顺次为一次函数y=
    1
    4
    x+
    1
    12
    图象上的点，点列A1（x1，0）、A2（x2，0）、…、An（xn，0）（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成一个顶角的顶点为Bn的等腰三角形．
    （1）求数列{yn}2的通项公式，并证明{yn}3是等差数列；
    （2）证明xn+2-xn5为常数，并求出数列{xn}6的通项公式；
    （3）问上述等腰三角形An8Bn9An+110中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）利用点列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、Bn（n，yn）（n∈N）顺次为一次函数y=
    1
    4
    x+
    1
    12
    ，可得数列{yn}的通项公式，进而有{yn}是等差数列；
    （2）根据△AnBnAn+1与△An+1Bn+1An+2为等腰三角形，可得
    xn+xn+1
    2
    =n
    xn+1+xn+1
    2
    =n+1
    ，两式相减，即可求出数列{xn}的通项公式；
    （3）要使△AnBnAn+1为直角三角形，则xn+1-xn=2(
    n
    4
    +
    1
    12
    )    ，根据（2）分n为奇数、偶数时，进行讨论，可求此时a值．
    解答：解：（1）∵点列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、Bn（n，yn）（n∈N）顺次为一次函数y=
    1
    4
    x+
    1
    12

    ∴yn=
    1
    4
    n+
    1
    12

    ∴yn+1-yn=
    1
    4

    ∴{yn}是等差数列；
    （2）∵△AnBnAn+1与△An+1Bn+1An+2为等腰三角形
    ∴
    xn+xn+1
    2
    =n
    xn+1+xn+1
    2
    =n+1
    ．∴xn+2-xn=2
    ∴xn=
    n+a-1(n为奇数)
    n-a(n为偶数)

    （3）要使△AnBnAn+1为直角三角形，则xn+1-xn=2(
    n
    4
    +
    1
    12
    )
    当n为奇数时，xn+1-xn=2（1-a），∴2(
    n
    4
    +
    1
    12
    )=2(1-a)
    ∴a=
    11
    12
    -
    n
    4
    (n为奇数，0＜a＜1)
    n=1，得a=
    2
    3
    ，n=3得a=
    1
    6
    ，n≥5，则无解；
    当n为偶数时，同理得a=
    1
    12
    n
    4
    (n为偶数，0＜a＜1)
     n=2，得 a=
    7
    12
    ，n≥4，则无解；
    ∴存在直角三角形，此时a值为
    2
    3
    ，
    1
    6
    ，
    7
    12
    点评：本题以函数为载体，考查数列知识，考查数列的通项，考查分类讨论思想，有较强的综合性．
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    x4
    上的点，点列A1（x1，0），A2（x2，0），…，An（xn，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形．
    （Ⅰ）求证：对任意的n∈N*，xn+2-xn是常数，并求数列{xn}的通项公式；
    （Ⅱ）问是否存在等腰直角三角形AnBnAn+1？请说明理由．

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    1
    4
    x+
    1
    12
    图象上的点，点列A1（x1，0）、A2（x2，0）、…、An（xn，0）（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成以
    Bn为顶点的等腰三角形．
    （1）求{yn}的通项公式，且证明{yn}是等差数列；
    （2）试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列{xn}的通项公式；
    （3）在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．

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    x4
    上的点，点列A1（x1，0），A2（x2，0），…，An（xn，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形．
    （1）证明：数列{yn}是等差数列；
    （2）求证：对任意的n∈N*，xn+2-xn是常数，并求数列{xn}的通项公式；
    （3）对上述等腰三角形AnBnAn+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答．（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）

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    （1）求数列{an}，{cn}的通项公式；
    （2）是否存在n使等腰三角形AnBnCn为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由．
    （3）设数列{
    1
    an•(
    3
    2
    +cn)
    }的前n项和为Sn，求证：
    2
    3
    ≤Sn＜
    4
    3
    ．

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