Question

8．已知函数$f（x）=ln\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$，g（x）=e^x-2，若存在x₁＞0，x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂），则x₁-x₂的最小值为ln2．

Answer 1

分析 求出x₁-x₂的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出x₁-x₂的最小值即可．

解答 令 y=e^x₂-2，则 x₂=lny+2，令y=ln$\frac{{x}_{1}}{2}$+$\frac{1}{2}$，可得 x₁=2${e}^{y-\frac{1}{2}}$，
则x₁-x₂=2${e}^{y-\frac{1}{2}}$-lny-2，∴（x₁-x₂）′=2${e}^{y-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{y}$，
显然，（x₁-x₂）′是增函数，观察可得当y=$\frac{1}{2}$时，（x₁-x₂）′=0，故（x₁-x₂）′有唯一零点．
故当y=$\frac{1}{2}$时，x₁-x₂取得最小值为2e⁰-ln$\frac{1}{2}$-2=ln2，
故答案为：ln2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．