Question

（2011•顺义区二模）已知函数f(x)=2sinxcosx+

3

cos2x，x∈R
（1）求函数f（x）（2）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最小值及f（x）取最小值时x的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式，平方关系，两角和的正弦函数，化简函数y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，为一个角的一个三角函数的形式，然后利用三角函数的周期公式求出最小正周期，
（2）先求出整体角的范围，然后利用三角函数的有界性求出三角函数的最大值、最小值．

解答：解：（1）f(x)=2sinxcosx+

3

cos2x=sin2x+

3

cos2x=2(

1

2

sin2x+

3

2

cos2x)=2sin(2x+

π

3

)…（5分）
所以函数f（x）的最小正周期为π．            …（6分）
（2）由-

π

6

≤x≤

π

2

得0≤2x+

π

3

≤

4π

3

，…．（9分）
所以当2x+

π

3

=

4

3

π时，即x=

π

2

时，函数f（x）取得最小值，且最小值为  -

3

故函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

2

]上的最小值为-

3

，此时x=

π

2

．…．（13分）

点评：本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．一般先将原函数化简为：y=Asin（ωx+φ）的形式．