Question

已知棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，E为BC中点.
（1）求Ｂ到平面B₁ED距离
（2）求直线DC和平面B₁ED所成角的正弦值. (12分)

Answer 1

(1) d =；（2）sinα=。

试题分析：(1)求点到平面的距离，可利用体积法.可利用V _B1-ECD=V _C-B1DE.
(2)因为E为BC的中点，所以点C到平面B₁ED的距离等于点B到平面B₁ED的距离h，在（I）的基础上可求出直线DC和平面B₁ED所成角.
(1)以Ａ为原点，ＡＢ，ＡＤ，ＡＡ为x轴，y轴，z轴建立坐标系如图．用向量法易求得Ｂ到平面B₁ED距离d =

（2）方法一：向量法略
方法二：解：在四面体B₁—DCE中，V _B1—ECD=V _C—B1DE，
则S_△B1DE·h _C—B1DE=S_△ECD·h _B1—ECD
而S _B1DE=a²,S_△ECD=,则h _C—B1DE=.
则sinα=
点评：利用四面体可换底的特性，求出点到平面的距离.求线面角如果直接找角不好找，可以象本题一样转化为点到平面的距离求解.