Question

设不等式2（logx）²+9（logx）+9≤0的解集为M，求当x∈M时，函数f（x）=（log₂）•（log₂）的最大值和最小值．

Answer 1

解：∵2（logx）²+9（logx）+9≤0，
∴（2logx+3）（logx+3）≤0．
∴-3≤logx≤-．
即log（）^-3≤logx≤log（）-
∴（）-≤x≤（）^-3，即2≤x≤8．
从而M=[2，8]．
又f（x）=（log₂x-1）（log₂x-3）=（log₂x）²-4log₂x+3=（log₂x-2）²-1．
∵2≤x≤8，
∴≤log₂x≤3．
∴当log₂x=2，即x=4时y_min=-1；
当log₂x=3，即x=8时，y_max=0．
分析：由2（logx）²+9（logx）+9≤0可知-3≤logx≤-，从而推导出≤log₂x≤3，再由f（x）=（log₂x-1）（log₂x-3（log₂x-2）²-1能够推导出函数f（x）=（log₂）（log₂）的最大值和最小值．
点评：先解不等式求出解集为M，再利用对数函数的性质和二次函数的最值求函数f（x）=（log₂）•（log₂）的最大值和最小值．