Question

已知f（x）=-2|2|x|-1|+1和g（x）=x²-2|x|+m（m∈R）是定义在R上的两个函数，则下列命题正确的是（　　）

A、关于x的方程f（x）-k=0恰有四个不相等实数根的充要条件是k∈（-1，0）

B、关于x的方程f（x）=g（x）恰有四个不相等实数根的充要条件是m∈[0，1]

C、当m=1时，对?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[-1，0]，f（x₁）＜g（x₂）成立

D、若?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，f（x₁）＜g（x₂）成立，则m∈（-1，+∞）

Answer 1

分析：分析f（x）=-2|2|x|-1|+1和g（x）=x²-2|x|+m的函数性质，对选项逐个判断即可．

解答：解：∵f（x）=-2|2|x|-1|+1，
∴f（-x）=f（x），
∴f（x）=-2|2|x|-1|+1是偶函数，
x＞0时，f（x）=-2|2x-1|+1=

-4x+3，x＞ 1 2 4x-1，0＜x＜ 1 2

，
∴f（x）=-2|2|x|-1|+1的图象如图所示，
∴关于x的方程f（x）-k=0恰有四个不相等实数根的充要条件是k∈（-1，1），即A不正确；
函数g（x）=x²-2|x|+m是偶函数，与y轴的交点坐标为（0，m），显然m=-

1

2

时，关于x的方程f（x）=g（x）有四个不相等实数根，故B不正确；
?x₁∈[-1，0]，f（x₁）∈[-1，1]，x₂∈[-1，0]，g（x）=x²+2x+1∈[0，1]，
∴当m=1时，对?x₁∈[-1，0]，?x₂∈[-1，0]，f（x₁）＜g（x₂）不成立，即C正确；
对于D，?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，f（x₁）≥g（x₂）成立时，m≤-1，
∴若?x₁∈[-1，1]，?x₂∈[-1，1]，f（x₁）＜g（x₂）成立，则m∈（-1，+∞），故D不正确．
故选D．

点评：本题考查命题真假的判断，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，分析函数的性质是关键．