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已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1=C2m+33m•Am-21,公比q是(4的展开式中的第二项.
(Ⅰ)求实数m的值,并用含x的式子表示公比q;
(Ⅱ)用n,x表示通项an与前n项和Sn
(Ⅲ)若An=Cn1S1+Cn2S2+…+CnnSn,用n,x表示An
【答案】分析:(Ⅰ)根据题意,有a1=C2m+33m•Am-21,由二项式系数的性质,可得,解可得;即m=3,写出的展开式中的通项的第二项,即可得公比;
(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论,可得a1与公比,可得等比数列的通项为an=xn-1,分x=1与x≠1两种情况讨论,分别求出Sn,综合可得答案;
(Ⅲ)分x=1与x≠1两种情况讨论,当x=1时,Sn=n,An=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn,倒序相加可得2An=n(Cn+Cn1+Cn2+…+Cnn),由二项式定理可得2An=n•2n,化简可得An=n•2n-1,当x≠1时,,代入可得An的表达式,综合可得答案.
解答:解:(Ⅰ)∵a1=C2m+33m•Am-21
,解可得
∴m=3,
的展开式中的通项公式知q=
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,a1=C2m+33m•Am-21=C66•A11=1,其公比为x,
则an=xn-1
当x=1时,an=1,Sn=1+1+…+1=n,
当x≠1时,Sn==

(Ⅲ)当x=1时,Sn=n,An=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=0Cn+Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn
又∵An=nCnn+(n-1)Cnn-1+(n-2)Cnn-2+…+Cn1+0Cn,②
①+②可得:2An=n(Cn+Cn1+Cn2+…+Cnn)=n•2n
∴An=n•2n-1
当x≠1时,


点评:本题考查等比数列的求和、二项式定理的应用;注意对等比数列求和时,讨论公比是否为1.
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