Question

以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为

10 - 2

2

；设F₁和F₂为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F₁，F₂，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为

2

；经过抛物线y=

1

4

x2的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，若y₁+y₂=5，则线段AB的长等于

7

．

Answer 1

分析：设正方形边长为2，设正方形中心为原点，设椭圆的标准方程，则可知c，的a和b的关系式，进而求得BC的中点坐标代入椭圆方程，得到a和b的另一关系式，最后联立求得a，则椭圆的离心率可得；画出图形，可得

2b

c

=

3

，从而可求双曲线的离心率；利用抛物线的定义，即可确定AB的长．

解答：解：设正方形边长为2，设正方形中心为原点
则椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1
且c=

2

∴a²-b²=c²=2①
正方形BC边的中点坐标为（

1

2

，

1

2

）
代入方程得到

1

2a2

+

1

2b2

=1②
联立①②解得a=

5 +1

2

∴e=

c

a

=

10 - 2

2

；
如图，∵

|PO|

|F1O|

=tan60°，
∴

2b

c

=

3

，
∴4b²=3c²，
∴4（c²-a²）=3c²，
∴c²=4a²，
∴e=

c

a

=2；
经过抛物线y=

1

4

x2的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，则|AB|=y₁+y₂+2
∵y₁+y₂=5，∴|AB|=7
故答案为：

10 - 2

2

，2，7．

点评：本题主要考查了椭圆、双曲线的简单性质，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．