Question

17．已知函数f（x）=log_a$\frac{2-x}{b+x}$（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（-2，2a）时，函数f（x）的值域是（-∞，1），则实数a+b=$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 根据函数f（x）为奇函数，建立方程关系即可求出b，然后根据分式函数和对数函数的单调性建立条件关系即可求出a．

解答 解：∵函数f（x）=log_a $\frac{2-x}{b+x}$（0＜a＜1）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
∴log_a $\frac{2-x}{b+x}$+log_a $\frac{2+x}{b-x}$=log_a $\frac{2-x}{b+x}$•$\frac{2+x}{b-x}$=0，
即 $\frac{2-x}{b+x}$•$\frac{2+x}{b-x}$=1，
∴4-x²=b²-x²，
即b²=4，解得b=±2，
当b=-2时，函数f（x）=log_a $\frac{2-x}{-2+x}$=f（x）=log_a（-1）无意义，舍去．
当b=2时，函数f（x）=log_a $\frac{2-x}{2+x}$为奇函数，满足条件．
∵$\frac{2-x}{2+x}$=-1+$\frac{4}{2+x}$，在（-2，+∞）上单调递减．
又0＜a＜1，
∴函数f（x）=log_a $\frac{2-x}{2+x}$在x∈（-2，2a）上单调递增，
∵当x∈（-2，2a）时，函数f（x）的值域是（-∞，1），
∴f（2a）=1，
即f（2a）=log_a $\frac{2-2a}{2+2a}$=1，
∴$\frac{2-2a}{2+2a}$=a，
即1-a=a+a²，
∴a²+2a-1=0，
解得a=-1±$\sqrt{2}$，
∵0＜a＜1，
∴a=$\sqrt{2}$-1，
∴a+b=$\sqrt{2}$-1+2=$\sqrt{2}$+1，
故答案为：$\sqrt{2}$+1．

点评 本题主要考查函数奇偶性的性质的应用，以及复合函数的单调性的应用，考查函数性质的综合应用．