Question

函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对于任意x₁，x₂∈（0，+∞），总有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）证明：对于任意x₁，x₂∈（0，+∞），总有f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂）；
（3）若f（4）=1，解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,奇偶性与单调性的综合

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）在题中所给函数关系式中取x₂=1，化简即可计算出f（1）的值等于0；
（2）对于任意x₁，x₂∈（0，+∞），总有f（x₁）=f（

x1

x2

•x₂）=f（

x1

x2

）+f（x₂），可得结论；
（3）令x₁=x₂=4，算出f（16）=2，f（16×4）=f（16）+f（4）=3．由f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，将问题转化为解不等式组

3x+1＞0 2x-6＞0 (3x+1)(2x-6)≤64

，即可得到满足条件x的取值范围．

解答： 解：（1）取x₂=1，得f（x₁×1）=f（x₁）+f（1），即f（x₁）=f（x₁）+f（1），解之得f（1）=0；
（2）对于任意x₁，x₂∈（0，+∞），总有f（x₁）=f（

x1

x2

•x₂）=f（

x1

x2

）+f（x₂），
∴f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂）；
…（8分）
（3）由f（4×4）=f（4）+f（4）且f（4）=1，得f（16）=2…（9分）
f（16×4）=f（16）+f（4）=3（10分）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，f（3x+1）+f（2x-6）≤3，
∴

3x+1＞0 2x-6＞0 (3x+1)(2x-6)≤64

，
∴3＜x≤5，
∴原不等式的解集为（3，5]…（12分）

点评：本题给出抽象函数，求特殊的函数值，并依此解关于x的不等式．着重考查了函数的单调性、不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法．