Question

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，其右焦点到直线x-y+2

2

=0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线y=

3

3

x+1与椭圆交于P、N两点，求|PN|．

Answer 1

分析：（1）由题意设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由题设条件知c=

2

，a=

3

．由此可知椭圆方程为

x2

3

+y²=1．
（2）设直线与椭圆的交点为P（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则

y= 3 3 x+1 x2 3 +y2=1

，解得直线与椭圆的交点为P（0，1），N（-

3

，0）．
由此可知PN|=

( 3 )2+12

=2．

解答：解：（1）由题意设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵b=1，又设右焦点F为（c，0），
则

|c+2 2 |

2

=3，解得c=

2

，∴a=

3

．
∴椭圆方程为

x2

3

+y²=1．
（2）设直线与椭圆的交点为P（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
则

y= 3 3 x+1 x2 3 +y2=1

解方程组得

x1=0 y1=1

解

x2=- 3 y2=0

∴直线与椭圆的交点为P（0，1），N（-

3

，0）．
∴|PN|=

( 3 )2+12

=2．

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．