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    精英家教网【选修4-1：几何证明选讲】
    如图，梯形ABCD内接于圆O，AD∥BC，且AB=CD，过点B引圆O的切线分别交DA、CA的延长线于点E、F．
    （1）求证：CD2=AE•BC；
    （2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF的长．
    分析：（1）由已知条件，利用直线平行的性质和弦切角定理推导出△EAB∽△ABC，由此能证明CD2=AE•BC．
    （2）由已知条件和（1）先求出AE，再由三角形相似的判定定理得到△FEA∽△FAB，由此能求出结果．
    解答：解：（1）因为AD∥BC，所以∠EAB=∠ABC．
    又因为FB与圆O相切于点B，
    所以∠EBA=∠ACB，
    所以△EAB∽△ABC，
    所以
    AE
    BA
    =
    AB
    BC
    ，即AB2=AE•BC，
    因为AB=CD，所以CD2=AE•BC．
    （2）因为AB2=AE•BC，BC=8，CD=5，AF=6，AB=CD，
    所以AE=
    AB2
    BC
    =
    25
    8
    ，
    因为AD∥BC，所以∠FAE=∠ACB，
    又因为∠EBA=∠ACB，
    所以∠FAE=∠EBA，∠F=∠F，
    所以△FEA∽△FAB，
    所以
    AE
    AB
    =
    EF
    AF
    ，
    所以EF=
    AE
    AB
    •AF    =
    15
    4
    ．
    点评：本题考查三角形相似的应用，考查与圆有关的线段长的求法，解题时要注意弦切角定理和三角形相似的性质的灵活运用．
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    【选修4-1：几何证明选讲】
    已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．
    （1）求证：FA∥BE；
    （2）求证：
    AP
    PC
    =
    FA
    AB
    ；
    （3）若⊙O的直径AB=2，求tan∠PFA的值．

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    （2014•兰州一模）【选修4-1：几何证明选讲】
    如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AB于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．
    （1）求证：O、B、D、E四点共圆；
    （2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．

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    【选修4-1：几何证明选讲】
    如图，已知AD，BE，CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，AD的延长线交△ABC的外接圆于点G．求证：DH=DG．

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    【选修4—1：几何证明选讲】

     如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，且AD=AC

    AE=AB，BD，CE相交于点F.

     （1）求证：A，E，F，D四点共圆；

     
     （2）若正△ABC的边长为2，求A，E，F，D所在圆的半径．

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