Question

19、证明方程6-3x=2^x在区间[1，2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解（精确到0.1）．

Answer 1

分析：证明方程6-3x=2^x在区间[1，2]内有唯一一个实数解，只需证明函数在[1，2]内为单调函数，再结合根的存在性定理即可．
求解可用二分法．

解答：证明：设函数使f（x）=2^x+3x-6．∵f（1）=-1＜0，f（2）=4＞0
又∵f（x）是增函数，所以函数f（x）=2^x+3x-6在区间[1，2]有唯一的零点，
则方程6-3x=2^x在区间[1，2]有唯一一个实数解．设该解为x₀，则x₀∈[1，2]
取x₁=1.5，f（1.5）=0.33＞0，f（1）f（1.5）＜0．∴x₀∈（1，1.5）
取x₂=1.25，f（1.25）=0.128＞0，f（1）f（1.25）＜0．
∴x₀∈（1，1.25）
取x₃=1.125，f（1.125）=-0.44＜0，
f（1.125）f（1.25）＜0．∴x₀∈（1.125，1.25）
取x₄=1.1875，f（1.1875）=-0.16＜0，f（1.1875）f（1.25）＜0．
∴x₀∈（1.1875，1.25）∵|1.25-1.1875|=0.0625＜0.1∵可取x₀=1.2
则方程的实数解为x₀=1.2．

点评：本题考查根的存在性定理、用二分法求根，考查计算能力．