Question

19、如图1，在边长为12的正方形AA′A′₁A₁中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB=3，BC=4，AA′₁分别交BB₁，CC₁于点P、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A′₁与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，请在图2中解决下列问题：
（1）求证：AB⊥PQ；
（2）在底边AC上有一点M，满足AM；MC=3：4，求证：BM∥平面APQ．

Answer 1

分析：（1）根据AB，BC，AC三边满足AC²=AB²+BC²，可知AB⊥BC，而AB⊥BB₁，BC∩BB₁=B，根据线面垂直的判定定理可知AB⊥平面BC₁，又PQ?平面BC₁，根据线面垂直的性质可知AB⊥PQ；
（2）欲证BM∥平面APQ，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BM与平面APQ内一直线平行即可，过M作MN∥CQ交AQ于N，连接PN，
根据边的比例关系可证得四边形PBMN为平行四边形，从而BM∥PN，满足定理所需条件．

解答：（1）证明：因为AB=3，BC=4，
所以AC=5，从而AC²=AB²+BC²，
即AB⊥BC．（3分）
又因为AB⊥BB₁，而BC∩BB₁=B，
所以AB⊥平面BC₁，又PQ?平面BC₁
所以AB⊥PQ （6分）
（2）证明：过M作MN∥CQ交AQ于N，连接PN，
因为AM：MC=3：4∴AM：AC=MN：CQ=3：7 （9分）
∴MN=PB=3∵PB∥CQ∴MN∥PB∴四边形PBMN为平行四边形
∴BM∥PN，所以BM∥平面APQ．（12分）

点评：本题主要考查了空间两直线的位置关系的判定，以及直线与平面平行的判定，同时考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题．