Question

已知定义域为[0，1]的函数f （x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（1）试求f（0）的值；
（2）试求函数f （x）的最大值；
（3）试证明：当x∈(

1

4

，

1

2

]时，f（x）＜2x．

Answer 1

分析：（1）令x₁=x₂=0，依条件③可得f（0）≤0，又由条件（1）得f（0）≥0，利用夹逼法则可求出f（0）的值；
（2）任取0≤x₁＜x₂≤1，然后根据f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁），可得函数的单调性，从而求出函数的最大值；
（3）当x∈(

1

2

，1]时，可得f（x）≤f（1）=1，当x∈(

1

4

，

1

2

]时，则

1

2

＜2x≤1，根据③可证得结论．

解答：解：（1）令x₁=x₂=0，依条件③可得f（0+0）≥2f（0），即f（0）≤0
又由条件（1）得f（0）≥0 故f（0）=0（4分）
（2）任取0≤x₁＜x₂≤1可知x₂-x₁∈（0，1]，则
f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁）
于是当0≤x≤1时，有f（x）≤f（1）=1因此当x=1时，f（x）取最大值1．（9分）
（3）证明：当x∈(

1

2

，1]时，f（x）≤f（1）=1
当x∈(

1

4

，

1

2

]时，

1

2

＜2x≤1，f（2x）≤1，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x）
∴f（x）≤

1

2

f（2x）≤

1

2

＜2x   即f（x）＜2x．（14分）

点评：本题主要考查了函数的最值，以及恒成立问题，同时考查了赋值法的应用，属于中档题．