Question

【题目】若不等式ln（x+2）+a（x2+x）≥0对于任意的x∈[﹣1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.[0，+∞）
B.[0，1]
C.[0，e]
D.[﹣1，0]

Answer 1

【答案】B
【解析】解：令f（x）=ln（x+2）+a（x2+x），x∈[﹣1，+∞），

∵不等式ln（x+2）+a（x2+x）≥0对于任意的x∈[﹣1，+∞）恒成立，

∴fmin（x）≥0，

f′（x）= +2ax+a= ，

令g（x）=2ax2+5ax+2a+1，

⑴若a=0，则g（x）=1，∴f′（x）＞0，

∴f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，∴fmin（x）=f（﹣1）=0，符合题意；

⑵若a＞0，则g（x）的图象开口向上，对称轴为x=﹣ ，

∴g（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，∴gmin（x）=g（﹣1）=1﹣a，

①若1﹣a≥0，即0＜a≤1，则g（x）≥0，∴f′（x）≥0，由（1）可知符合题意；

②若1﹣a＜0，即a＞1，则存在x0∈（﹣1，+∞），

使得当x∈（﹣1，x0）时，g（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，

∴f（x）在（﹣1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

∴fmin（x）＜f（﹣1）=0，不符合题意；

⑶若a＜0，则g（x）的图象开口向下，对称轴为x=﹣ ，

∴g（x）在[﹣1，+∞）上单调递减，gmax（x）=g（﹣1）=1﹣a＞0，

∴存在x1∈（﹣1，+∞），使得当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，当x∈（x1，+∞）时，g（x）＜0，

∴f（x）在（﹣1，x1）单调递增，在（x1，+∞）上单调递减，

∴f（x）在（﹣1，+∞）上不存在最小值，不符合题意；

综上，a的取值范围是[0，1]．

故选B．