Question

2．数列{a_n}满足a₁=2，a_n=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+1}$，其前n项的积为T_n，则T₂₀₁₆的值为（　　）

• A． -3
• B． 1
• C． 2
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 a₁=2，a_n=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+1}$，可得a_n+1=$\frac{{a}_{n}+1}{1-{a}_{n}}$，a_n+4=a_n．利用其周期性即可得出．

解答 解：a₁=2，a_n=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+1}$，∴a_n+1=$\frac{{a}_{n}+1}{1-{a}_{n}}$．
∴a₂=$\frac{2+1}{1-2}$=-3，同理可得a₃=-$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{1}{3}$，a₅=2，a₆=-3，…，
∴a_n+4=a_n，数列{a_n}的周期为4，
∴a₁•a₂•a₃•a₄=1．
其前n项的积为T_n，则T₂₀₁₆=$（{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}{a}_{4}）^{504}$=1．
故选：B．

点评 本题考查了数列递推关系、周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．