Question

（2006•朝阳区一模）在各项均为正数的数列{a_n}中，前n项和S_n满足2S_n+1=a_n（2a_n+1），n∈N^*．
（Ⅰ）证明{a_n}是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n项和的公式；
（Ⅱ）在XOY平面上，设点列M_n（x_n，y_n）满足a_n=nx_n，S_n=n²y_n，且点列M_n在直线C上，M_n中最高点为M_k，若称直线C与x轴、直线x=a、x=b所围成的图形的面积为直线C在区间[a，b]上的面积，试求直线C在区间[x₃，x_k]上的面积；
（Ⅲ）是否存在圆心在直线C上的圆，使得点列M_n中任何一个点都在该圆内部？若存在，求出符合题目条件的半径最小的圆；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2Sn=2

a

2 n

+an-1①，得2Sn+1=2

a

2 n+1

+an+1-1②，两式相减可得递推式，化简后由等差数列的定义可作出判断，根据等差数列通项公式及前n项和公式可得通项及前n项和；
（Ⅱ）由an=nxn，Sn=n2yn可得x_n，y_n，从而得点M_n，消掉参数n后可得直线C的方程，根据y_n的单调性可求其最大值，从而得到最高点M_k，从而可得区间[x₃，x_k]，易判断图形形状，由面积公式可求；
（Ⅲ）先列出直线C：3x-2y-1=0上的点列M_nM₁（1，1），M₂（

3

4

，

5

8

），M₃（

2

3

，

1

2

），…，M_n（

1

2

+

1

2n

，  

1

4

+

3

4n

），…而

lim

n→∞

(

1

2

+

1

2n

)=

1

2

，  

lim

n→∞

(

1

4

+

3

4n

)=

1

4

，
可知点列M_n沿直线C无限接近于极限点M（

1

2

，

1

4

），则以M₁M为直径的圆为满足条件的最小圆；

解答：（Ⅰ）证明：由已知得2Sn=2

a

2 n

+an-1①，
故2Sn+1=2

a

2 n+1

+an+1-1②，
②-①得2an+1=2

a

2 n+1

-2

a

2 n

+an+1-an，
结合a_n＞0，得an+1-an=

1

2

，
∴{a_n}是等差数列，
又n=1时，2a1=2

a

2 1

+a1-1，解得a₁=1或a1=-

1

2

，∵a_n＞0，∴a₁=1，
又d=

1

2

，故an=1+

1

2

(n-1)=

1

2

n+

1

2

，
∴Sn=n+

1

2

•

n(n-1)

2

=

1

4

n2+

3

4

n；
（II）∵an=nxn，Sn=n2yn，
∴xn=

an

n

=

1

2

+

1

2n

，yn=

Sn

n2

=

1

4

+

3

4n

，即得点Mn(

1

2

+

1

2n

，  

1

4

+

3

4n

)，
设x=

1

2

+

1

2n

，y=

1

4

+

3

4n

，消去n，得3x-2y-1=0，即直线C的方程为3x-2y-1=0，
又y=

1

4

+

3

4n

是n的减函数，∴M₁为M_n中的最高点，且M₁（1，1），
又M₃的坐标为（

2

3

，

1

2

），∴C与x轴、直线x=

2

3

、x=1围成的图形为直角梯形，
从而直线C在[

2

3

，1]上的面积为S=

1

2

×(

1

2

+1)×(1-

2

3

)=

1

4

；
（III）由于直线C：3x-2y-1=0上的点列M_n依次为M₁（1，1），M₂（

3

4

，

5

8

），M₃（

2

3

，

1

2

），…，M_n（

1

2

+

1

2n

，  

1

4

+

3

4n

），…
而

lim

n→∞

(

1

2

+

1

2n

)=

1

2

，  

lim

n→∞

(

1

4

+

3

4n

)=

1

4

，
因此，点列M_n沿直线C无限接近于极限点M（

1

2

，

1

4

），
又

1

2

|M1M|=

1

2

(1- 1 2 )2+(1- 1 4 )2

=

13

8

，M₁M的中点为（

3

4

，

5

8

），
∴满足条件的圆存在，事实上，圆心为（

3

4

，

5

8

），半径r≥

13

8

的圆，就能使得M_n中任何一个点都在该圆的内部，其中半径最小的圆为(x-

3

4

)2+(y-

5

8

)2=

13

64

．

点评：本题考查等差数列的通项公式、求和公式及数列与直线圆的综合题，考查学生对问题的分析理解能力及转化能力．