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设P的轨迹是曲线C,满足:点P到F(-2,0)的距离与它到直线l:x=-4的距离之比是常数,又点M(2,-
2
)
在曲线C上,点N(-1,1)在曲线C的内部.
(1)求曲线C的方程;
(2)|PN|+
2
|PF|
的最小值,并求此时点P的坐标.
分析:(1)设P(x,y)的坐标,利用点P到F(-2,0)的距离与它到直线l:x=-4的距离之比是常数,得到圆的表达式,点M(2,-
2
)
在曲线C上,求出离心率,推出轨迹方程.
(2)利用(1)的离心率,求出|PN|+
2
|PF|
的表达式,然后确定最小值.
解答:解:(1)设P(x,y)则由题意可得
(x+2)2+y2
|x+4|
=e

因为M(2,-
2
)
在曲线C上,所以
(2+2)2+(-
2
)
2
|2+4|
=e

e=
2
2
,所以
(x+2)2+y2
|x+4|
=
2
2
,化简得
x2
8
+
y2
4
=1

所以曲线C的方程为
x2
8
+
y2
4
=1

(2)由(1)可得曲线C为椭圆且离心率e=
2
,设点P到准线l:x=-4的距离为d
所以
|PF|
d
=
2
2
d=
2
|PF|

所以|PN|+
2
|PF|
=|PN|+d,
所以|PN|+
2
|PF|
的最小值为|-1-(-4)|=3,此时点P的坐标为(-
6
,1)
点评:本题是中档题,考查椭圆轨迹方程的求法,椭圆离心率的应用,考查计算能力,高考常考题型.
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已知点M,N分别在直线y=mx和y=-mx(m>0)上运动,点P是线段MN的中点,且|MN|=2,动点P的轨迹是曲线C.
(1)求曲线C的方程,并讨论方程所表示的曲线类型;
(2)设m=
2
2
时,过点A(-
2
6
3
,0)的直线l与曲线C恰有一个公共点,求直线l的斜率.

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(2)设m=
2
2
时,过点A(-
2
6
3
,0)的直线l与曲线C恰有一个公共点,求直线l的斜率.

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