Question

给出下列命题：
①若f（tanx）=sin2x，则f（-1）=-1；
②将函数y=sin(2x+

π

3

)的图象向右平移

π

3

个单位，得到y=sin2x的图象；
③方程sinx=lgx有三个实数根；
④函数y=1-2cosx-2sin²x的值域是-

3

2

≤y≤3
⑤把y=cosx+cos(

π

3

+x)写成一个角的正弦形式是y=

3

sin(

π

3

+x)
其中正确的命题的序号是

 

（要求写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析：①由题得tanx=-1计算出x的值再计算出2x的值代入即可．
②由左加右减得原函数变化为y=sin(2x-

π

3

)．
③函数y=sinx与函数y=lgx有三个交点，因为函数y=lgx过点（10，1）结合函数的性质可得答案．
④原函数为y=2cos²x-2cosx-1，利用还原方法得到y=2t²-2t-1，t∈[-1，1]，进而可得答案．
⑤利用公式化简结果是y=

3

sin(

π

3

-x)．

解答：解：①由题得tanx=-1所以x=

3π

4

+kπ所以2x=

3π

2

+2kπ所以sin2x=-1，故①正确．
②由左加右减得：将函数y=sin(2x+

π

3

)的图象向右平移

π

3

个单位得y=sin(2x-

π

3

)故答案②错误．
③即函数y=sinx与函数y=lgx有三个交点，因为函数y=lgx过点（10，1）且函数y=sinx是周期函数，故③正确．
④原函数为y=2cos²x-2cosx-1，还原的y=2t²-2t-1，t∈[-1，1]，所以函数的值域是-

3

2

≤y≤3，故④正确．
⑤y=cosx+cos(

π

3

+x)化简结果是y=

3

sin(

π

3

-x)，故⑤错误．
故答案为：①③④．

点评：本题考查利用换元法得到熟悉的函数再求函数的值域，以及把方程的有解问题转化为两个函数的交点问题，解决此类题目的关键是熟悉两个函数的图象．