Question

10．椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$（a＞b），过右焦点F且斜率为2$\sqrt{6}$的直线与椭圆及y轴交于B，M点，B分$\overrightarrow{MF}$所成的比为2，求椭圆的离心率．

Answer 1

分析 依题意F（c，0），其中c²=a²-b²，通过设直线BM的方程：y=$2\sqrt{6}$（x-c）可知M（0，-$2\sqrt{6}$c），通过设B（p，q）可知q=$2\sqrt{6}$（p-c），利用B分$\overrightarrow{MF}$所成的比为2可知$\overrightarrow{MB}$=2$\overrightarrow{BF}$，从而（p-0，q+$2\sqrt{6}$c）=2（c-p，0-q），计算可知p=$\frac{2}{3}$c、q=-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$c，将其代入$\frac{{p}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{q}^{2}}{{b}^{2}}$=1、化简可知24•$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$-4•$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=29，利用换元法、计算可知$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，从而$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，利用e²=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$计算即得结论．

解答 解：如图，F（c，0），其中c²=a²-b²，
设直线BM的方程为：y=$2\sqrt{6}$（x-c），则M（0，-$2\sqrt{6}$c），
设B（p，q），则q=$2\sqrt{6}$（p-c）、$\frac{{p}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{q}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∵B分$\overrightarrow{MF}$所成的比为2，
∴$\overrightarrow{MB}$=2$\overrightarrow{BF}$，即（p-0，q+$2\sqrt{6}$c）=2（c-p，0-q），
∴p=2c-2p、q+$2\sqrt{6}$c=-2q，即p=$\frac{2}{3}$c、q=-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$c，
又∵$\frac{{p}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{q}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即$\frac{（\frac{2}{3}c）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（-\frac{2\sqrt{6}}{3}c）^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴$\frac{4（{a}^{2}-{b}^{2}）}{9{a}^{2}}$+$\frac{24（{a}^{2}-{b}^{2}）}{9{b}^{2}}$=1，
化简得：24•$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$-4•$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=29，
令t=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$，则上式可化为：24t-$\frac{4}{t}$=29，
∴24t²-29t-4=0，
解得：t=$\frac{29±\sqrt{29×29+4×24×4}}{2×24}$=$\frac{29±35}{48}$，
∴t=$\frac{4}{3}$或t=-$\frac{1}{8}$（舍），
即$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴e²=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴椭圆的离心率e=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的离心率，涉及向量、勾股定理等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．