Question

（2012•朝阳区二模）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1，2，3，4，5的5个红球与编号为1，2，3，4的4个白球，从中任意取出3个球．
（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；
（Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；
（Ⅲ）记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A，由此能求出取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率．
（Ⅱ）设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，由此能求出取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率．
（Ⅲ）X的取值为2，3，4，5，分别求出P（X=2），P（X=3），P（X=4），P（X=5）的值，由此能求出X的分布列和X的数学期望．

解答：解：（Ⅰ）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A，则
P（A）=

3+2

C 3 9

=

5

84

．
答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为

5

84

．
（Ⅱ）设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则
P（B）=

C 1 4 C 1 7

C 3 9

=

1

3

．
答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为

1

3

．
（Ⅲ）X的取值为2，3，4，5．
P（X=2）=

C 1 2 C 2 2 + C 2 2 C 1 2

C 3 9

=

1

21

，
P（X=3）=

C 1 2 C 2 4 +C 2 2 C 1 4

C 3 9

=

4

21

，
P（X=4）=

C 1 2 C 2 6 + C 2 2 C 1 6

C 3 9

=

3

7

，
P（X=5）=

C 1 1 C 2 8

C 3 9

=

1

3

．
所以X的分布列为

X	2	3	4	5
P	1 21	4 21	3 7	1 3

X的数学期望EX=2×

1

21

+3×

4

21

+4×

3

7

+5×

1

3

=

85

21

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．