Question

【题目】已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）单调增区间；
（3）若存在x1 ， x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax+x2﹣xlna，

∴f′（x）=axlna+2x﹣lna，

∴f′（0）=0，f（0）=1

即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，

∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；

（2）解：由于f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna＞0

①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，

∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0

故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，

∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0

故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）

（3）解：因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，

所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|

=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（

由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，

所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，

（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，

而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（ +1+lna）=a﹣ ﹣2lna，

记g（t）=t﹣ ﹣2lnt（t＞0），

因为g′（t）=1+ ﹣ =（ ﹣1）2≥0（当t=1时取等号），

所以g（t）=t﹣ ﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，

所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，

也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；

当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）

② 当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1a﹣lna≥e﹣1a≥e，

②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1 +lna≥e﹣10＜a≤ ，

综上知，所求a的取值范围为a∈（0， ]∪[e，+∞）．

【解析】（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；（2）先求原函数的导数得：f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．