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如图,设P是圆x2+y2=2上的动点,PD⊥x轴,垂足为D,M为线段PD上一点,且|PD|=
2
|MD|,点A、F1的坐标分别为(0,
2
),(-1,0).
(1)求点M的轨迹方程;
(2)求|MA|+|MF1|的最大值,并求此时点M的坐标.
(1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xp,yp
∵PD⊥x轴,垂足为D,M为线段PD上一点,且|PD|=
2
|MD|,
∴xp=x,yp=
2
y
∵P是圆x2+y2=2上的动点,
∴x2+2y2=2;
(2)由(1)知,M的轨迹方程是椭圆,F1是左焦点,设右焦点为F2,坐标为(1,0)
∴|MA|+|MF1|=2
2
+|MA|-|MF2|≤2
2
+|AF2|=2
2
+
3

当A,F2,M三点共线,且M在AF2延长线上时,取等号
直线AF2的方程为x+
y
2
=1
,与椭圆方程联立,解得x=
4+
6
5
,y=
2
-2
3
5

∴所求最大值为2
2
+
3
,此时M的坐标为(
4+
6
5
2
-2
3
5
).
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),且经过点P(1,
3
2
)

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点,问在椭圆C上是否存在一点M,使四边形AMBF2为平行四边形,若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C的中心在原点,焦点y在轴上,焦距为2
3
,且过点M(-
13
4
3
2
)

(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点N(
1
2
,1)
的直线l交椭圆C于A、B两点,且N恰好为AB中点,能否在椭圆C上找到点D,使△ABD的面积最大?若能,求出点D的坐标;若不能,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,
ADB
为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且OD⊥AB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(Ⅱ)过点B的直线l与曲线C交于M、N两点,与OD所在直线交于E点,若
EM
=λ1
MB
EN
=λ2
NB
,求证:λ1+λ2
为定值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知直线l与椭圆
x2
36
+
y2
9
=1
交于A和B两点,点(4,2)是线段AB的中点,则直线l的方程是______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,过抛物线y2=2px(p>0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB.
(1)设OA的斜率为k,试用k表示点A、B的坐标;
(2)求弦AB中点M的轨迹方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知圆E:(x+
3
2+y2=16,点F(
3
,0),P是圆E上任意一点.线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.
(Ⅰ)求动点Q的轨迹Γ的方程;
(Ⅱ)已知A,B,C是轨迹Γ的三个动点,A与B关于原点对称,且|CA|=|CB|,问△ABC的面积是否存在最小值?若存在,求出此时点C的坐标,若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设集合A={(x,y)|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈N*},问是否存在非零整数a,使A∩B≠∅?若存在,请求出a的值;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,⊙的直径延长线上的一点,过点作⊙的切线,切点为,连接,若               

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