[题目]如图.四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的棱形.PD⊥底面ABCD.(1)证明:AC⊥平面PBD,(2)若PD=AD.直线PB与平面ABCD所成的角为45°.四棱锥P-ABCD的体积为.求a的值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的棱形，PD⊥底面ABCD.

（1）证明：AC⊥平面PBD；

（2）若PD=AD，直线PB与平面ABCD所成的角为45°，四棱锥P—ABCD的体积为，求a的值.

【答案】（1）见解析（2）2

【解析】

(1)根据菱形与PD平面ABCD，证明与即可.

(2)根据直线PB与平面ABCD所成的角为45°可得BD=PD=，进而根据体积公式列式求解即可.

解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD，

又因为PD平面ABCD，平面ABCD，所以PDAC，

又，故AC平面PBD；

（2）因为PD平面ABCD，

所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，

于是∠PBD=45°，

因此BD=PD=，又AB= AD=，

所以菱形ABCD的面积为，.

故四棱锥P- ABCD的体积，.

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