Question

6．命题p：已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x（x＞0）}\\{{3}^{x}（x≤0）}\end{array}\right.$，且函数F（x）=f（x）+x-a有且仅有两个零点；命题q：在x∈[1，2]内，不等式x²+2ax-2＞0恒成立，若p且q为真，求参数a的范围．

Answer 1

分析 函数F（x）=f（x）+x-a有且仅有两个零点，即为y=f（x）和y=a-x的图象有两个交点，作出y=f（x）和y=a-x的图象，通过图象观察可得a的范围；再由参数分离和函数的单调性，可得-2a＜x-$\frac{2}{x}$恒成立的a的范围，由p且q为真，即p，q都为真，可得a的范围．

解答 解：函数F（x）=f（x）+x-a有且仅有两个零点，
即为y=f（x）和y=a-x的图象有两个交点，
作出y=f（x）和y=a-x的图象，可得a≤1时，有两个交点；
又在x∈[1，2]内，不等式x²+2ax-2＞0恒成立，
即为-2a＜x-$\frac{2}{x}$恒成立，
由y=x-$\frac{2}{x}$的导数为y′=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$＞0，可得区间[1，2]为增区间，
即有x=1时，取得最小值-1，
则-2a＜-1，解得a＞$\frac{1}{2}$．
综上可得，p且q为真，即p，q都为真，
则a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题考查函数恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性，同时考查函数的零点的个数，注意运用数形结合的思想方法，属于中档题．